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髪の毛が荒れた日の原因は数学にあるのでしょうか?その疑問に答える前に、「ヘアリーボール定理」を紹介しましょう。 （はい、それが実際にそう呼ばれています。ただし、ヨーロッパでは「ハリネズミの定理」と呼ばれることもあります。）それは基本的に、どこかに毛皮やハゲを作らずにボールの上で髪をとかすことはできないと述べています。
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これに驚いたとしても、あなたは一人ではありません。結局のところ、オイラー図形やホモトピーのような複雑な位相概念がヘアスタイルに関連する可能性があると誰が考えたでしょうか?トポロジーは数学の最も抽象的な分野の 1 つです。トポロジーでは、図形の正確な形状は重要ではありません。 2 つのオブジェクトは、引き裂いたり接着したりせずに互いの形状を変えることができる場合、同じとみなされます。有名な例はマグカップとドーナツです。これらは両方ともちょうど 1 つの穴を持っているため、トポロジカルに同一であり、相互に形状を変えることができます。一方、パンはトポロジストにとってベーグルにもベーグルにもなり得ません。
髪の毛はどこから入ってくるのでしょうか？シンプルにして、短くてまっすぐな髪を持つ人を考えてみましょう。彼らの髪はベクトル フィールドに似ています。各点 (ストランド) は、特定の方向を指す小さな矢印として説明できます。ベクトル場の典型的な例は風向きです。地球上のどこにいても風向きを決定できます。ボールに風の矢印を描くと、毛むくじゃらのボールやココナッツのような結果になります。この定理は基本的に、球体上では完全に連続したベクトル場を作成することはできない、ということを示しています。ある時点で、とかした頭の後ろにあるハゲの部分のように、途切れが生じるでしょう。
これを理解するには、嵐の惑星の例えが役立ちます。北極圏に沿って東に向かうロードトリップに行くことを想像してみてください。旅全体を通して変わらぬ風が吹きます。走り出すと背中に風を感じますが、円を描くように走ると、左から、前から、最後に右から風が吹いてくるように感じます。原点に戻るとまた腰が抜ける。つまり、あなたに関する限り、散歩中に風は時計回りに変わりました。
次に、同じことをするために南極圏に飛びます。風を背にして再び出発します。次に、彼は最初に右から吹き、その後正面から、最後に左から吹きます。この場合も、風がどこに吹いているかという感覚は反時計回りに変わります。
このシナリオでは、風は常に同じように吹いていますが、時間の経過とともに変化しているように感じられます。この知覚された変化は、円形の経路に沿って 360 度の整数倍だけ回転することができます。そうしないと、風は開始点と終了点で異なる方向に吹かなければなりません (これらは同じであるため、これは不可能です。最終的には円を描くことになります)。したがって、ベクトル フィールドが連続的であるためには、戦闘中に方向を変えてはいけないことに注意してください。
この例では、北極円と南極円に沿った風向きは、それぞれの場合で同じ量だけ変化しますが、符号は異なります。最初のケースでは、知覚される風向きは時計回りに回転します。 2 番目では、反時計回りに回転します。つまり、北極圏では風が 360 度、南極圏では 360 度回転し、その角度差は 720 度になります。ベクトル場が連続である場合、少なくとも 1 つの点でゼロでなければなりません。このような点は通常、連続ベクトル場の渦です。これは気象学的には、世界のどこかで常に風がまったくないハリケーンが存在することを意味します。さらに、この定理は核融合にも影響を及ぼします。
さて、そうは言っても、ハゲと牛のせいで数学を責めることはできません。厳密に言えば、私たちの頭はこの文章に必要な基準を満たしていないからです。まず、ヘアの数が少なすぎます。数学の世界では、表面上のすべての点がベクトルによって占有されなければなりません。それ以外の場合、私たちの体にはいくつかの開口部があり、その中には口から消化器系を通る開口部が 1 つあります。したがって、私にとって、トポロジー的には、私たちは球体というよりもドーナツに似ています。
それでも、私は次の髪の毛のひどい日を毛むくじゃらのボールのせいにすることに満足しています。少なくとも、それは創造的な言い訳です。
この記事は最初に掲載されました ウィッセンシャフトのスペクトル 許可を得て転載しました。人工知能の助けを借りてオリジナルのドイツ語版から翻訳され、編集者によってチェックされました。
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