この夏のFIFAワールドカップ中に「あれはダメな判定だった！」という叫び声が上がることはすでに想像できます。 「あれはファウルじゃなかった！」 「相手チームにペナルティがあったはずだ！」
幸いなことに、ビデオの再生により、審判の決定を検証したり、反論したりすることができます。もちろん、このテクノロジーはファンの間でも激しい議論を巻き起こしています。しかし、私の興味はビデオ証明とビデオアシスタントを伴う数学です。
最近、親愛なる同僚が、一見無害な質問を私に持ちかけてきました。競技場をできるだけ正確に撮影するには、少なくとも何台のカメラが必要ですか。すべてのアクションを確実に記録するには、カメラを配置する最適な場所はどこですか?結局のところ、この質問に答えるのは決して簡単ではありません。
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サッカー場から美術館へ
数学では、このタイプの問題は「アート ギャラリー問題」としてよく知られています。 1973 年、数学者のヴァーツラフ チャヴァトルは同僚のビクター クレイに興味深い幾何学的問題を尋ねました。クレイはこれに応じて、ギャラリーを守るために最低何人の警備員が必要かを知るよう彼に求めた。
これは、ギャラリーの形状に依存する古典的な最適化問題です。壁に絵が飾られた長方形の部屋の場合、視界を遮る柱や人がないと仮定すると、理論的には 1 つの警備員で十分です。警備員は隅に立っており、エリア全体を簡単に監視できます。
より複雑な空間形状の場合、答えを見つけるのはそれほど簡単ではありません。 1975 年に、クヴァータルは、部屋に最低限必要な警備員の数が必要であることを証明する記事を発表しました。 N コーナーは最大でも N⁄3結果が整数でない場合は切り捨てます。
この証明を視覚化するには、空間が三角形に分割されていると想像してください。各三角形の端点は、領域の頂点、つまりコーナーと一致します。ガードは与えられた三角形を完全に調査することができます。次に、3 つの色 (赤、青、緑としましょう) を想像して、隣接する 2 つの点が同じ色にならないように、各三角形の各点に色を付けます。青などの特定の色に対応する任意の位置にガードを配置することで、エリア全体をガードできます。なぜなら、 N 領域の頂点は最大 3 色で色付けできます。 N/3 警備員が必要だ。
この推論では解決策が得られますが、必ずしも最適な解決策であるとは限りません。任意の形状の部屋に最小数の警備員を決定して配置することは、悪名高い複雑な問題であることが判明し、コンピューターが解決しようとすると限界に達することがあります。専門家はこれを NP 完全問題と呼んでいます。
22 ホールの競技場
サッカー場は非常に単純な構造、つまり長方形です。隅に設置されたカメラは、視野角が少なくとも 90 度であれば、フィールド全体をカバーできるはずです。
しかし、誰もいないフィールドを撃っても意味がありません。最大 22 人のプレーヤーが動き回ってボールを奪い合うゲームを撮影したいと考えています。ゲーム中、プレーヤーは常にお互いを隠しているため、タスクはさらに複雑になります。
簡単に静的な問題から始めましょう。 22 人のプレーヤーがフィールド上に静止して広がっていると仮定します。数学的な観点から見ると、この状況は博物館の警備員の問題に対応しますが、警備員もビデオ カメラも見ることができない 22 の領域または穴があります。
2009年、当時イリノイ工科大学に在籍していた数学者のヘマンシュ・カウル氏とヨンジュ・ジョー氏は、このケースでは10人の警備員やカメラがあれば十分であることを証明した。彼らの証明には、エリアを三角形ではなく多角形に分割し、それらの多角形から点と線のグリッドを定義し、そのグリッドの点に色を付ける最適な方法を決定することが含まれていました。
繰り返しになりますが、カウルとジョーの結果は、考えられる解決策の 1 つにすぎず、必ずしも最適な解決策であるとは限りません。警備員の数は少なくても十分かもしれません。
複雑な現実
しかし、22 ホール、つまりプレーヤーがローテーションする、より現実的で複雑な状況を考えてみましょう。これについて詳しく考えると、フットボールの試合の重要な部分には 3 次元の要素が含まれていることに注目する価値があります。それは、ボールと地面に足が着いているだけではありません。さらに、カメラの機能には限界があります。博物館の警備員の場合に数学者が想定しているように、カメラは 360 度の視野をカバーしません。
これらすべての要因が問題を複雑にするため、このようなタスクにはコンピュータ支援による分析しか方法がありません。このアプローチは、特定の特殊なケースに適した近似値を提供しますが、少なくとも次のような一般的かつ絶対的な記述は許可しません。 y ゲームを完璧に監視するには、遊び場の特定の場所にカメラが必要です。
しかし、サッカーのシュートに関しては、シミュレーションと過去の経験という別の要素を補助として追加できます。これらの試合は何十年にもわたって撮影され、放送されてきました。この歴史が、主催者が各カメラに最適な場所を決定するのに役立ちました。
前回のカタールワールドカップでは、8台のスーパースローカメラと4台のウルトラスローカメラを含む計42台のカメラがサッカーピッチ上の22人の選手に焦点を当てた。残念ながら、FIFAはなぜこれほど多くのカメラを使用するのかについて正確な説明を提供していない。この数字はかなり高いように見えますが、おそらくピッチ全体をできるだけ包括的にカバーするためです。財政資源を考慮すると、FIFA はおそらく、可能な限り少ないカメラで最適なソリューションを探すべきではありません。
それでも、カメラの位置は明らかになっている。そのほとんどは各ゴール付近やハーフウェイラインに位置しており、エキサイティングな状況が最も頻繁に発生する可能性があります。
しかし、多くの小規模なクラブや組織は、最適なカメラの配置とはまったく異なる課題に直面しています。信頼できるビデオ証拠を提供するには、デバイスを適切に調整して調整する必要がありますが、それは必ずしも簡単ではありません。
したがって、今年のワールドカップを観戦中に、熱心で怒っている視聴者がビデオ証拠について文句を言っているのを偶然聞いた場合、このタスクの背後にある数学的複雑さについて話すことで、彼らを落ち着かせることができるかもしれません。うまくいったら教えてください。
この記事は最初に掲載されました ウィッセンシャフトのスペクトル 許可を得て転載しました。これは、人工知能の助けを借りてオリジナルのドイツ語版から翻訳され、編集者によってチェックされました。
