OpenAI の図は c² = 65 の選択に基づいており、これは 1² + 8² = 65 または 4² + 7² = 65 によって満たされます。これは、グリッド間隔が 1/√65 の場合、各点は他の 16 点から 1 単位離れていることを意味します: (1,8)、(4,1)、(4,7)、(8)、(4,7)、(8)、(-4,7)、など。 c² の値を大きくすると、慎重に選択した場合、より多くの整数対角が可能になり、より多くの単位距離ペアが可能になります。
ただし、c² がネットワーク内のポイントの数に比べて大きすぎる場合、1 つのユニットの潜在的な隣接ポイントの多くがネットワークの外側になります。
つまり、十分な大きさだが大きすぎない c² を選択する必要があります。エルデシュは、ヤコビの 2 平方定理などの数論からの洞察を利用して、最適なサイズの円を使用すると、単位距離のペアの数が点の数よりも速く、ただしほんのわずかしか増加しないことを示すことができました。
質問は「もっと上手くできるか？」になりました。上限を見つけるために、アルデスはグラフ理論と呼ばれる数学のまったく異なる分野の議論を使用して、単位距離の数に制限があることを示しました。しかし、彼の上限は、彼が構築できた最良の下限よりもはるかに速く増加しました。
アルデスの仮説は、実際の最適値は上限よりも下限にはるかに近いというものでした。彼は、単位距離ペアの最大数が点の数よりもわずかに速く増加するだけであると予測しましたが、証明することはできませんでした。
より正確には、エルデシュは単位距離の数が n^(1+o(1)) になると推測しました。言い換えれば、n が十分に大きい場合、すべての 𝜖 > 0 について、単位距離の最大数は n^(1+𝜖) 未満になります。最終的には、基礎となる構造 (ある定数 C の場合は n^(1 + C/(log log n)) よりも少し速く成長する可能性がありますが、同じ一般的な範囲内です。
