一世紀にわたって数学者の注意をそらしてきた数学ミーム

ほぼ 1 世紀前、ある数学者が、一見単純そうに見えて非常に難しいパズルを思いつきました。それ以来、他の数学者の注意をそらしてきました。この問題は脳から脳へと飛び交うミームとなっており、多くの人が解決したと主張しているが、証拠が崩れて希望が打ち砕かれてしまった。そして、注意してください。ルールを説明すると、あなたはすぐに自分で遊び始めたくなるでしょう。あなたがどれだけの時間を無駄にしたかについては私は責任を負いません。

それはちょっとした手品のように始まります。数値を選択します。任意の数値、少なくとも任意の正の整数を選択します。パイのようなもので賢くなろうとしないでください。偶数の場合は 2 で割ります。奇数の場合は 3 を掛けて 1 を加えます。次に、結果の数値に同じルールを適用します。これを十分長くやれば、必ず 1 に到達します。

少なくとも、数学者はそうなると考えています。これがすべての可能な正の整数に当てはまるかどうかは、1930 年代にこの問題を最初に調査したルーサー・コラッツにちなんでコラッツ予想と呼ばれる未解決の問題です。そして驚くべきことに、これは本当に答えるのが難しい質問です。実際、20世紀で最も多作な数学者の一人であるポール・アーダッシュは、かつて「数学はそのような問題に対応する準備ができていないかもしれない」と述べた。

では、なぜコラッツ仮説を証明するのはそれほど難しいのでしょうか?あなたが私と同じなら、この問題について初めて聞くと、すぐに電卓に手を伸ばし、1 になるかどうかを計算し始めるでしょう。実際、数学者はコンピューターを使用して 2 までのすべての数値をテストしました。⁷¹。残念ながら、これではテストすべき数が無限に残るため、証拠の探索にはあまり役に立ちません。

問題の 1 つは、数値が正しく動作しないことです。 1から始めれば終わりです。 2の場合は半分に切って完成です。ただし、3 の場合、数字の文字列は 10、5、16、8、4、2、1 になります。7 の場合、22、11、34、17、52、26、13、40、20、10、5、16、8、1 になります。7、7 の文字列には文字列が含まれる場合があることに注意してください。これは Collat​​z の興味深い側面です。以前にチェックした番号に到達したら、チェーンがどこに行くのかがすでにわかっているため、再度チェックする必要はありません。

これらすべてが数学者を悩ませる問題を引き起こします。私は xkcd の優れたウェブコミックからの引用を思い出しました。「ある種の脳は、簡単にスイッチが切れてしまうのです。興味深い問題を見せると、脳は無意識のうちに他のすべての作業を放棄して、それに取り組むようになるのです。」実際、Kolac ミームが広まると、まさにそれが起こりました。

未知のものを定義する

コラッツ仮説の起源を解明するのは驚くほど難しいですが、証拠を見つけるほどではありません。コラッツ氏は1980年の手紙の中で、「ほぼ50年前」に研究を始めたと書いている。彼はこの仮説を何年も自分の中に秘めていたようで、どうやらそれを単なる興味の対象にすぎないと考えていたようです。この問題がさらに広く広がり始めたのは、1950 年にコルツがこの分野最大の会議である国際数学者会議に出席し、他の出席者とこの問題について非公式に議論したときでした。

そこから、この問題は数学的ネットワークに広がり、他の数学者によって再発見され、ラベルが付け直されたようです。シラキュース問題、ハッセのアルゴリズム、あるいは単なる 3x+1 問題など、さまざまな名前で呼ばれています。この予想を広範囲に検討しているジェフリー・レガリアスによると、この予想が印刷物に登場したのは 1971 年で、当時はこの予想は「数学的なゴシップの一部」とされていましたが、その 1 年後、マーティン・ガードナーが雑誌の数学ゲームのコラムでこの予想について書いたとき、実際に大リーグに広まりました。 サイエンティフィック・アメリカン。これまでガードナーに出会ったことがない人のために説明すると、ガードナーは「レクリエーション数学」の分野における伝説的な人物です。基本的に、真剣な研究数学者が他の数学愛好家と密かに楽しんでいる間、ほとんど見向きもしないものです。

コラッツ予想はしばらくの間、娯楽数学と研究数学の間の境界をまたぎ続けた。私は、「これらの問題を解決しようとしないでください」というタイトルの 1983 年の論文を見つけて面白かったです。この論文では、他の推測とともにこの推測について詳細に説明し、必然的に誘惑に負けることを知っている数学者に警告しています。

最初の大きな成果の 1 つは、1976 年に Riho Terras が重要な成果を証明したときにもたらされました。偶数から始めると、最初のステップは半分にすることなので、コラッツ チェーンは常にその開始番号を下回ることがわかります。ただし、奇数で開始した場合、最初のストップは開始番号を上回ります。そこで問題は、再び開始点よりも下に戻るまで、できれば 1 に戻るまでどのくらいの時間がかかるかということになります。テラスはこれを数値の「停止時間」と呼び、ほとんどすべての場合、停止時間は有限であること、つまり数値は永遠に爆発するのではなく、最終的には減少することを証明しました。

これはコラッツ予想を証明するには十分ではありません。1 に決して達しない想像を絶するほど大きな数の反例が 1 つあるだけで、コラッツ予想を反証するには十分です。また、これはあまりにも不正確です。無限の可能性を扱う場合、「ほぼすべて」とは何を意味しますか? 2002 年には、イリヤ クラシコフとグリアスが、与えられた数値 x に対して、少なくとも x が存在することを証明し、精度はさらに向上しました。^0.84 その下にある数値は最終的には合計 1 になります。これは少し混乱します。たとえば、x を 100 とすると、100 未満の少なくとも 47 個の数値の合計が 1 になることを意味します。実際、100 未満の数値はすべて 1 になることがわかっていますが、この証明で行われるのは、コラッツの未知数に明示的な上限を設けることです。

最大の進歩は、おそらく世界で最も偉大な存命数学者であるテレンス・タウが、この悪名高い問題に取り組むことを決意した 2019 年に起こりました。彼は、Terras の結果のより強力なバージョンを証明し、「ほぼすべての」数値が最終的に開始点を下回るだけでなく、実際にはいくらでも数値を下げることができることを示しました。これはコラッツ予想の証明にかなり近いように感じますが、ある意味、それに近いわけではありません。反例が数直線のはるか遠くに潜んでいる可能性が常にあるからです。

では、コラッツ仮説の次は何でしょうか?私がこのコラムを書いているときに、OpenAI が大規模な言語モデルを使用して、80 年間数学者を悩ませてきた大きな問題を解決したというニュースが流れました。彼女は正当性を証明することでこれを行ったのではなく、予期せぬ反例を見つけることでこれを行いました。同じことがコルツにも起こる可能性はあるだろうか？現時点ではあえて予測するつもりはありませんが、非常に多くの人間の心を悩ませてきた問題が最終的に AI によって解決されるとしたら、それは確かに皮肉なことでしょう。