数学 AI は研究者が 50 年来の問題を解決するのに役立っています

人工知能が 80 年前の予想を反証し、数学者たちを驚愕させてからわずか 1 週間後、同じ手法に触発され、今度は完全に人間によって書かれた、半世紀にわたって立ち続けてきた別の予想が崩れ去りました。

先週、OpenAIの未発表の人工知能モデルは、ハンガリーの数学者ポール・アルデスによって最初に提案された単位距離問題と呼ばれる重要な予想を反証した。アルダッシュ氏が「幾何学への最も優れた貢献」と考え、多くの数学者が解決できなかったこのパズルは、平面上に配置された点間で同じサイズの接続を何個作ることができるかに関するものです。

エルデシュはこの数値の上限を定義しており、多くの専門家はそれが正しいと考えています。しかし、AI モデルは、この数が実際にはもっと大きい可能性があることを示しました。これは、代数的数論のあいまいなトリックを使用して、非常に高次元の複雑な構造を作成し、それを使用して人間が考えていたものとはまったく異なる配置でドットを配置できる可能性があることを示しました。この結果は数学者たちを驚かせ、中にはアーダッシュの予想が生きている間に反証されるとは予想していなかった者もいた。

それから 1 週間も経たないうちに、イギリスのマンチェスター大学のトーマス・ブルームとその同僚は、同様の議論を使って、アルデスが 1976 年に初めて行った積和仮説と呼ばれる別の有名な主張を反証しました。

「私はこの問題についてかなり考えていたので、それは驚きでした」とブルームは言う。 OpenAI の AI が幾何学的な問題を解決するために数論を使用するというトリックを見た後、ブルームと彼のチームは、積和仮説についても同じことを試せることに気づきました。 「何かが可能であるとわかれば、それを実現するためにもう少し頑張ってみようと思うものです」と彼は言います。

アルダッシュの 和積 推測は、数値の集合、つまり集合に関係します。これは、そのセット内のすべての数値を一度に 1 組ずつ加算または乗算してさらに 2 つのセットを作成する場合、それらのセットのうちの少なくとも 1 つは元のセットよりもはるかに大きくなければならず、両方のセットを同じように小さくすることはできないことを意味します。たとえば、1 から 5 までのすべての数値を乗算すると、2+3 や 1+4 など 2 倍の結果が得られるため、すべてを加算する場合よりも大きなグループが得られます。 1、2、4、8、16 などの別のグループを指定すると、乗算されたグループには 2 の累乗しか含まれないため、代わりに追加されるグループの方が大きくなります。

エルデシュは、2 つの加法集合と乗法集合のうち大きい方の値がどの程度小さくなるかという制限を設定し、これがすべての数値集合に当てはまるはずだと仮説を立てました。しかし、ブルームと彼の同僚は、同じ高次元のトリックを使用して、和と積の両方がアルダッシュが考えていたよりも小さい集合を見つけました。 2 の累乗などの数の等比数列を使用する代わりに、多くの異なる次元で数の数列を一度に作成できます。これにより、計算できる異なる合計の数がはるかに少なくなるセットが生成されることがわかりました。

「私にとって本当に驚いたのは、それがとてもシンプルだったということです」とブルームは言います。 「構造を説明するのは非常に簡単ですが、今ではその理由がよくわかります。 [Erdős’s conjecture] これは、他の多くの関連問題にも役立つはずです。」

「これは競技スポーツとしての数学に典型的なことです」と英国ブリストル大学のミーシャ・ルドネフ氏は言う。 「新しいアイデアが始まると、それをさらに応用できるものを見つけるために 24 時間体制で働きたがる人々がいます。そして、こうした人々は通常、非常に優秀で迅速です。」

ルドネフ氏によると、アーダッシュ氏の当初の直感は、この予想は主に整数または整数に当てはまるはずであり、ブルーム氏と彼のチームが発見したグループでは、グループが成長するにつれてより複雑になるエキゾチックな数体系を使用していたため、この予想は今でも真実であるように見えます。ブルーム氏は、この仮説が整数についてはまだ成り立つことに同意し、「やるべきことはまだ膨大にあり、何が起こっているのか実際には理解していない」と述べています。

この証明から得られる主な洞察は、2の二次べき乗の集合など、一見幾何学的な問題が数論のツールで取り組めるということだ、とブルーム氏は言う。 「これは、まったく新しいコミュニティにもこれらの問題を本当に開かせてくれます。代数的整数論の人々は、これらの問題を実際には扱ってきませんでした。」